仮想仕事式 (連続体力学)
$ \int_B\pmb\sigma:\pmb\nabla\pmb\eta\mathrm dV=\int_{\partial B}(\pmb\sigma\cdot\pmb\eta)\cdot\mathrm d\pmb{S}+\int_B\pmb K\cdot\pmb\eta\mathrm dV
$ B：立式対象の領域
$ \pmb\eta：任意函数
仮想変位$ \bar{\pmb u}を代入した場合 $ \int_B\pmb\sigma:\bar{\pmb\varepsilon}\mathrm dV=\int_{\partial B}(\pmb\sigma\cdot\bar{\pmb u})\cdot\mathrm d\pmb{S}+\int_B\pmb K\cdot\bar{\pmb u}\mathrm dV
導出
方針
連続体の力の釣り合い式$ \pmb{0}=\pmb\nabla\cdot\pmb\sigma+\pmb Kから出発する 式展開
$ \pmb{0}=\pmb\nabla\cdot\pmb\sigma+\pmb K
$ \implies (\pmb\nabla\cdot\pmb\sigma+\pmb K)\cdot\pmb\eta=0
任意の函数$ \pmb\etaに対して成立
$ \implies \int_B(\pmb\nabla\cdot\pmb\sigma)\cdot\pmb\eta\mathrm{d}V+\int_B\pmb K\cdot\pmb\eta\mathrm{d}V=0
任意の領域$ Bで体積分する
$ \iff \int_B\pmb\nabla\cdot(\pmb\sigma\cdot\pmb\eta)\mathrm{d}V+\int_B\pmb K\cdot\pmb\eta\mathrm{d}V=\int_B\pmb\sigma:\pmb\nabla\pmb\eta\mathrm{d}V
$ \because\pmb\nabla\cdot(\pmb A\cdot\pmb a)=(\pmb\nabla\cdot\pmb A)\cdot\pmb a+\pmb A:\pmb\nabla\pmb a
$ \iff \int_{\partial B}(\pmb\sigma\cdot\pmb\eta)\cdot\mathrm{d}\pmb{S}+\int_B\pmb K\cdot\pmb\eta\mathrm{d}V=\int_B\pmb\sigma:\pmb\nabla\pmb\eta\mathrm{d}V
$ \underline{\iff\int_B\pmb\sigma:\pmb\nabla\pmb\eta\mathrm{d}V=\int_{\partial B}(\pmb\sigma\cdot\pmb\eta)\cdot\mathrm{d}\pmb{S}+\int_B\pmb K\cdot\pmb\eta\mathrm{d}V\quad}
$ \pmb\etaに変位$ \pmb uもしくは変形速度$ \pmb vを入れることで、仮想仕事式となる $ \underline{\iff\int_B\pmb\sigma:\pmb\varepsilon\mathrm{d}V=\int_{\partial B}(\pmb\sigma\cdot\pmb u)\cdot\mathrm{d}\pmb{S}+\int_B\pmb K\cdot\pmb u\mathrm{d}V\quad}
$ \pmb\sigma=\pmb\sigma^\topなので、$ \pmb\sigma:\pmb\nabla\pmb u=\pmb\sigma:\frac12(\pmb\nabla\pmb u+\pmb\nabla\pmb u^\top)=\pmb\sigma:\pmb\varepsilonとなる